Transformasi Geometri : Translasi, Refleksi, Rotasi, Dilatasi, Determinan Dan Luas, Dan Contohnya Lengkap

Posted on

Transformasi Geometri : Translasi, Refleksi, Rotasi, Dilatasi, Determinan Dan Luas, Dan Contohnya Lengkap

Transformasi Geometri – Transformasi geometri adalah perubahan dalam suatu bidang geometri yang mencakup beberapa hal seperti posisi, besar dan bentuknya sendiri. Bila hasil transformasi kongruen dengan bangunan yang telah ditransformasikan, maka hal itu disebut dengan transformasi isometri. Transformasi isometri mempunyai dua jenis, yaitu transformasi isometri langsung dan berhadapan. Transformasi isometri langsung termasuk ke dalam translasi dan rotasi. Transformasi isometri berhadapan termasuk ke dalam refleksi.

Translasi

Adalah pemindahan atau pergeseran semua titik di bidang geometri, sejauh dan arah yang sama. Penulisan atau notasi translasi sama dengan notasi vektor. Bila titik B ditranslasi sampai titik   maka bisa dinotasikan seperti :
transformasi geometri bentuk translasi
Titik A, B, dan C, masing-masing ditranslasikan ke titik AI, BI, dan CI dengan jarak dan arah yang sama.
Suatu translasi dapat ditinjau terhadap sumbu x dan sumbu y. Pergeseran sejauh a sejajar sumbu x (bergeser ke kanan a>0, ke kiri a<0) dan pergeseran sejauh b sejajar sumbu y (bergeser ke atas b>0, ke bawah b<0) dinyatakan sebagai:
T =\left(\begin{array}{r} a\\ b\end{array}\right)
Dengan a dan b adalah komponen translasi. Bentuk-bentuk translasi sejauh sebagai berikut:
 

Posisi Awal Posisi Akhir Pergeseran
Translasi Titik
A(x, y)
  • AI (x+a, y+b)
    Dengan x dan y adalah koordinat
translasi titik
Translasi Garis
mx+ny=c
  • m(x + a) + n(y + b) = c
    Dengan m dan n adalah koefisien dan c konstanta
translasi garis
Translasi Kurva
y = mx2+ kx + l
  • Dengan m dan k adalah koefisien dan l konstanta
translasi kurva
Translasi Lingkaran
x2 + y2 = c
  • Dengan c adalah konstanta
translasi lingkaran

 

Refleksi

Adalah sebuah transformasi geometri yang berupa pergeseran dan pemindahan semua titik, di bidang geometri yang mengarah pada sebuah garis atau cermin. Dengan jarak yang sama dengan dua kali jarak pada titik ke cermin. Ada dua sifat yang penting dalam sebuah refleksi, diantaranya yaitu :

  1. Jarak dari titik ke cermin sama dengan jarak bayangan titik menuju cermin.
  2. Geometri yang telah direfleksikan akan berhadapan dengan petanya.

Contohnya :
refleksi
Bentuk refleksi terhadap berbagai garis sebagai berikut:

Titik Garis/Kurva Gambar Refleksi
Awal Bayangan Awal Bayangan
Refleksi sumbu y
A(x, y) AI (-x, y) y = f(x) yI = f(-x) refleksi sumbu y
Refleksi sumbu y = h
A(x, y) AI (x, 2h – y) y = f(x) yI = 2h – f(x) refleksi sumbu y = h
Refleksi sumbu x = h
A(x, y) AI (2h – x, y) y = f(x) yI = f(2h – x) refleksi sumbu x = h
Refleksi sumbu y = x
A(x, y) AI (y, x) y = f(x) x = f(y) refleksi sumbu y = x
Refleksi sumbu y = -x
A(x, y) AI (-y, -x) y = f(x) x = -f(-y) refleksi sumbu y = -x
Refleksi terhadap titik O (0,0)
A(x, y) AI (-x, -y) y = f(x) yI = -f(-x) refleksi titik 00

Selain refleksi terhadap garis diatas, titik dan kurva juga dapat direfleksikan terhadap suatu garis y=mx+k. Berikut refleksinya:
refleksi terhadap garis dan kurva
Dapat di gambarkan:
transformasi geometri pencerminan

Rotasi

Adalah transformasi geometri yang berupa pergeseran atau perpindahan semua titik ke bidang geometri, yang sepanjang busur lingkaran yang memiliki titik pusat lingkarannya, sebagai titik rotasi. Rotasi juga akan dinyatakan positif bila arahnya berlawanan dengan arah jarum jam dan akan bernilai negatif bila searah dengan jarum jam. Contohnya :
rotasi transformasi geometri
Titik A berotasi 90o berlawanan arah jarum jam. Dalam diagram cartesius, bentuk-bentuk rotasi sebagai berikut:
gambar dan persamaan rotasi

Dilatasi

Adalah transformasi geometri yang merupa perkalian yang membesarkan atau atau mengecilkan suatu bangunan pada geometri. Pada konsep dilatasi tersebut, ada yang disebut dengan titik dilatasi dan faktor dilatasi.
Sedangkan titik dilatasi adalah titik yang menentukan posisi pada suatu dilatasi. Titik tersebut akan menjadi titik pertemuan, dari seluruh garis lurus yang menghubungkan antara beberapa titik pada suatu bangunan ke titik-titik hasil dari dilatasi.
Faktor dilatasi adalah faktor perkalian pada suatu bangun geometri yang didilatasikan. Faktor ini juga akan menunjukkan berapa besar hasil dilatasi pada bangun geometrinya, serta dinotasikan dengan K. nilai K > 1 atau K < -1 akan menunjukkan hasil dilatasi yang lebih kecil dari geometrinya. Nilai -1 < K < 1 akan menunjukkan hasil hasil dilatasi yang berdampingan pada salah satu titik dilatasi. Sedangkan pada tanda negatif artinya geometri dan hasil dilatasi, saling terbalik dan juga berlainan sisi di titik dilatasi tersebut.

Konsep Dilatasi

Faktor Dilatasi Bentuk Dilatasi
k > 1 bentuk dilatasi k lebih besar dari 1
0 < k < 1 bentuk dilatasi diantara 0 dan 1
k < -1 bentuk dilatasi lebih kecil dari -1
-1 < k < 0 bentuk dilatasi diantara -1 dan 0

Dengan ketentuan:

  • k adalah titik dilatasi
  • A salah satu titik geometri
  • AI hasil dilatasi titik A

Dalam diagram cartesius, bentuk-bentuk rotasi sebagai berikut:
gambar rumus persamaan dilatasi

Matriks Transformasi

Pada umumnya transformasi geometri bisa dinyatakan dalam bentuk matriks, \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}   yang memetakan titik (x,y) ke titik (x’,y’ )  dengan persamaan sebagai berikut :
\left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} a&b\\ c&d\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right)
Atau
\left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right)= \frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{rr} d&-b\\ -c&a\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right)
Bentuk matriks transformasi adalah sebagai berikut :
matriks transformasi geometri

Determinan Dan Luas

Yaitu sebuah hasil bangun geometri yang memiliki luas yang berbeda dengan bangun awalnya. Dalam mendapatkan luas dari sebuah bangun geometri yang sudah ditransformasi, maka bisa dicari dengan determinan matriks transformasi. Yaitu :
A^I = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \times luas A
Dengan \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad-bc dan diketahui luas awalnya.

Contoh Soal

Persamaan peta garis 3x – 4y = 12, karena refleksi terhadap garis y – x = 0, dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks \left(\begin{array}{rr} -3&5\\ -1&1\end{array}\right) adalah
Pembahasan 1:
Diketahui matriksnya:
Rotasi = \left(\begin{array}{rr} 0&1\\ 1&0\end{array}\right)
Transformasi = \left(\begin{array}{rr} -3&5\\ -1&1\end{array}\right)
Persamaan garis direfleksi kemudian ditransformasi adalah:
\left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} -3&5\\ -1&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} 0&1\\ 1&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 5&-3\\ 1&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right)
\left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = - \frac{1}{2} \left(\begin{array}{rr} -1&3 \\ -1&5\end{array} \right) \left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) = \begin{pmatrix} \frac{x'-3y'}{2} \\ \frac{x'-5y'}{2} \end{pmatrix}
Kemudian disubstitusikan:
3x - 4y = 12 \overset{substitusi}{\rightarrow}3 (\frac{x'- 3y'}{2}) - 4(\frac{x'-5y'}{2}) = 12
3(x' - 3y') - 4(x'- 5y') = 24
3x' - 9y' - 4x' + 20y' =24
-x' + 11y' =24
Hasilnya:
11y - x =24
Demikian pembahasan lengkap mengenai transfomasi geometri. Semoga dapat dipahami dan menambah wawasan anda.
Baca Juga :