Determinan Matriks : Pengertian, Sifat Dan Contoh Soalnya Lengkap

Posted on
5 (100%) 1 vote[s]

Determinan Matriks : Pengertian, Sifat Dan Contoh Soalnya Lengkap

Determinan Matriks – Dalam materi aljabar linear, determinan adalah sebuah nilai yang bisa dihitung dari unsur suatu matriks persegi.

Determinan matriks A ditulis dengan sebuah tanda det(A), det A, atau |A|. determinan juga biasa dianggap sebagai faktor penskalaan transformasi, yang digambarkan dengan matriks. Bila matriksnya berbentuk 2×2 maka rumusnya adalah :

{\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.\end{aligned}}}

Jika matriksnya 3×3 matriks A maka rumusnya adalah :

{\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}&=a\,{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}\\&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{aligned}}}

Sedangkan untuk rumus leibniz untuk mencari determinan matriks n × n  adalah :

{\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma _{i}}\right).}

Metode eliminasi Gauss juga bisa digunakan. Sebagai contoh determinan matriksnya yaitu :

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}}

Dan juga dapat dihitung dengan menggunakan matriks seperti berikut :

{\displaystyle B={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\0&0&4.5\\2&0&-1\end{bmatrix}},\quad C={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\0&0&4.5\\0&2&-4\end{bmatrix}},\quad D={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\0&2&-4\\0&0&4.5\end{bmatrix}}.}

Keterangan :

Di sini, B diperoleh dari A dengan menambahkan −1/2× baris pertama dengan baris yang kedua, sehingga det(A) = det(B).

Kemudian C diperoleh dari B dengan menambahkan kolom pertama dengan kolom ketiga, sehingga det(C) = det(B). Sementara itu, yang D didapat dari C dengan menukar kolom kedua dan ketiga, sehingga det(D) = −det(C). Determinan matriks segitiga D merupakan hasil dari perkalian diagonal utamannya : (−2) · 2 · 4.5 = −18.

Oleh karena itu, det(A) = −det(D) = +18.

Sifat Determinan Matriks

Ada beberapa sifat pada determinan matriks, diantaranya yaitu :

  1. Bila semua elemen dari salah satu kolom sama dengan nol maka determinan matriks tersebut adalah nol. Seperti pada contoh berikut ini : misalnya 
  2. Bila semua elemen dari salah satu baris atau kolom tersebut sama dengan elemen baris atau kolom yang lain, maka determinan matriks tersebut adalah nol. Misalnya  karena elemen baris ke 1 dan ke 3 adalah sama.
  3. Bila elemen pada salah satu baris atau kolom adalah kelipatan dari elemen baris atau kolom yang lain, maka determinan matriks tersebut adalah nol. Misalnya  karena elemen baris ke 3 sama dengan kelipatan elemen baris ke 1.
  4. |AB| : |A| ×|B|
  5. |AT| = |A|, untuk AT ialah transpose dari matriks A.
  6. |A–1|   untuk A–1 ialah invers dari matriks A.
  7. |kA| = kn |A|, untuk A ordo n × n dan k adalahsuatu konstanta.
Baca Juga :   Luas Permukaan Prisma Segi Lima Beserta Rumus dan Contoh Soal Lengkap

Contoh Soal Determinan Ordo 2×2

Hitunglah dan Tentukan berapa nilai determinan dari sebuah matrik berikut :

Pembahasan:

M=

52
43

Jawab :

det(M) =

52
43

Maka = (5 × 3) – (2 × 4) = 7

Determinan Matriks Ordo 3×3

Contohnya yang kita ketahui adalah sebuah matriks A, yang menjadi matriks persegi dengan ordo dua. Maka :

A=

Ab
Cd

Dengan demikian, dapat diperoleh sebuah rumus det A sebagai berikut:

det(A) =

Ab
Cd

Maka = ad – bc

 

Contoh :

 

Hitunglah dan Tentukan berapa nilai determinan dari matrik berikut :

M=

56
43

Pembahasan:

det(M) =

56
43

= (5 × 3) – (6 × 4) = 16

Determinan Matriks Ordo 3×3

Ada dua cara dalam menghitung determinan untuk matriks berordo 3×3, yaitu :

  1. Metode Sarrus
  2. Metode Minor-Kofaktor

Cara yang paling mudah atau yang paling sering digunakan dalam menghitung suatu determinan matriks untuk yang berordo 3×3 adalah metode sarrus.

Metode Sarrus

Contohnya anda memiliki matriks A dengan ordo 3×3 seperti berikut :

A =

a11         a12         a13

a21         a22         a23

a31         a32         a33

Maka cara menghitung determinannya bisa ditunjukkan dengan gambar sebagai berikut :

Determinan Matriks

Contoh :

Tentukanlah Nilai Determinan dari matriks ordo 3×3 berikut :

A =

234
543
71

Pembahasan:

Nilai determinan untuk matriks di atas ialah sebagai berikut:

det(A) =

234
543
71

 

23
54
7

det(A) = 2.4.1 + 3.3.7 + 4.5. – 4.4.7 – 2.3. – 3.5.1
= 8 + 63 + – 112 – – 15
= – 56

Demikian pembahasan dan penjelasan mengenai determinan matriks yang lengkap. Semoga bisa dipahami dan menambah wawasan anda.

Baca Juga :