Diferensial Matematika : Pengertian, Rumus, Dan Contoh Soalnya Lengkap

Posted on
5 (100%) 1 vote[s]

Pengertian, Rumus, Dan Contoh Soal Diferensial Matematika

Diferensial – Turunan fungsi atau yang biasa disebut dengan diferensial adalah fungsi lain dari sebuah fungsi yang sebelumnya, contohnya fungsi F menjadi F’ yang mempunyai nilai yang tidak beraturan. Turunan atau diferensial digunakan sebagai alat untuk menyelesaikan beragam masalah di dalam geometri dan mekanika.

Persamaan diferensial
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan satu atau lebih turunan fungsi yang belum diketahui, dan atau persamaan itu mungkin juga melibatkan fungsi itu sendiri dan konstanta.

Konsep turunan sebagai bahan utama dari kalkulus yang dipikirkan bersama, pada saat yang bersamaan oleh Isaac Newton ( 1642 – 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman.

Teori diferensial adalah jenis teori yang membahas tentang adanya perubahan variabel yang terikat akibat dari perubahan variabel bebasnya. Yang dimana perubahan variabel bebas tersebut tergolong ke dalam perubahan yang sangat kecil.

Turunan Matematika adalah :

Misalnya Y adalah fungsi dari X atau Y = F (x). turunan atau diferensial dari Y terhadap X.

Rumus Diferensial

 

Rumus 1 :

Jika y = cxn dengan c dan n konstanta real

maka dy/dx = cn xn-1

contoh :

y = 2×4 maka dy/dx = 4.2×4-1 = 8×3

 

Rumus 2 :

Jika y = f(x) + g(x)

maka turunannya sama dengan turunan dari masing-masing fungsi = f'(x) + g'(x)

contoh:

y = x3 + 2×2 maka y’ = 3×2 + 4x

y = 2×5 + 6 maka y’ = 10×4 + 0 = 10×4

 

Rumus 3 :

Jika y = c dengan c adalah konstanta

maka dy/dx = 0

contoh:

jika y = 6 maka turunannya yaitu sama dengan nol

 

Rumus 4 :

Turunan Perkalian Fungsi Jika y f(x).g(x)

maka y’ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x)

contoh:

y = x2 (x2+2) maka

f(x) = x2

f'(x) = 2x

g(x) = x2+2

g'(x) = 2x

Kemudian masukkan ke rumus y’ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x)

y’ = 2x (x2+2) + 2x . x2

y’ = 4×3 + 4x (jawaban ini juga bisa diperoleh dengan cara mengalikan terlebih dahulu lalu menggunakan rumus 2)

Baca Juga :   Trapesium : Pengertian, Sifat, Macam, Jenis, Rumus Luas Dan Keliling Trapesium Dan Contoh Soalnya Lengkap

 

Rumus 5 :

ef (x) maka dy/dx = ef(x).f'(x)

contoh :

y = e2x+1

f (x) = 2x+1

f’ (x) = 2

maka f’ = e2x+1 . 2 = 2e2x+1

 

Rumus 6 :

Turunan Trigonometri Sin

Jika punya y = sin f(x)

maka turunannya yaitu y’ = cos f(x) . f'(x)

contoh :

y = sin(x2 + 1)

maka y’ = cos (x2 +1) . 2x = 2x. cos (x2 +1)

 

Rumus 7 :

Turunan Trigonometri Cos

Jika punya y = cos f(x)

maka turunanya adalah y’ = -sin f(x). f'(x)

contoh :

y = cos (2x+1)

maka turunannya y’ = -sin (2x+1) . 2 = -2 sin (2x+1)

 

Rumus Turunan Kedua

rumus turunan kedua sama dengan turunan dari turunan pertama .

Turunan kedua diperoleh dengan cara menurunkan turunan pertama.

Contoh :

Turunan kedua dari x3 + 4×2

turunan pertama = 3×2 + 8x

turunan kedua = 6x + 8

 

Contoh Soal

 

Persamaan garis singgung pada kurva y = 2×3-5×2-x+6 yang berabsis 1 ialah …

 

Penyelesaian :

y = 2×3 – 5×2 – x + 6 → x = 1

y’ = 6×2 – 10x – 1

y (1) = 2(1)3- 5(1)2 – 1 + 6

= 2 – 5 – 1 + 6

= 2 → ( 1 , 2 )

 

y’ = m = 6×2 – 10x – 1

= 6(1)2 – 10.1 – 1

= -5

 

Persamaan garis siggung : y – b = m (x – 1)

y – 2 = -5 (x – 1)

y – 2 = -5x + 1

5x + y +3 = 0

Jawaban : 5x + y + 3 = 0

 

Demikian pembahasan lengkap mengenai diferensial. Semoga dapat dipelajari kembali dan membuat anda mengerjakan soal dengan lebih mudah.

Baca Juga :