Materi Relasi Dan Fungsi (Komposisi Dan Fungsi Invers Lengkap)

Posted on
5 (100%) 1 vote[s]

Materi Relasi Dan Fungsi : Fungsi Komposisi Dan Fungsi Invers Lengkap

Materi Relasi Dan Fungsi – Fungsi adalah sebuah relasi yang berasal dari himpunan A ke himpunan B, yang disebut juga fungsi dan pemetaan. Jika setiap anggota himpunan A berpasangan dengan satu anggota dari himpunan B.

Suatu fungsi atau pemetaan, bisa disajikan dalam bentuk himpunan pasangan yang terurut, rumus, diagram panah, atau diagram cartesius. Fungsi F yang memetakan himpunan A menuju himpunan B akan ditulis dengan notasi sebagai berikut :

  • A disebut domain (daerah asal) dinotasikan D_f
  • B disebut Kodomain (daerah kawan) dinotasikan K_f
  • {y \epsilon B \mid(x,y) \epsilon R, x \epsilon A} disebut range (daerah hasil), dinotasikan dengan R_f

Contohnya :

Contoh 1Contoh 2Contoh 3
relasi dan fungsibukan fungsipengertian fungsi
Bukan fungsi karena terdapat anggota di A yang tidak dihubungkan dengan anggota di BBukan fungsi karena terdapat anggota di A yang dihubungkan lebih dari satu dengan anggota di BMeupakan fungsi karena setiap anggota di A tapat dihubungkan dengan satu anggota di B

 

Beberapa Sifat Fungsi

Fungsi Surjektif

Di dalam fungsi f:A \rightarrow B, bila setiap elemen pada B memiliki pasangan pada A atau  R_f = B  , atau setiap y \epsilon Bterdapat  x \epsilon A  . sehingga  f(x) = y contohnya :

surjektif

Fungsi Into

Di dalam fungsi  f:A \rightarrow B  bila ada elemen B yang tidak memiliki pasangan pada elemen A. contohnya :

into

Fungsi Injektif

Pada fungsi f:A \rightarrow B  bila elemen B memiliki satu pasangan pada elemen A. contohnya :

Baca Juga :   Himpunan Semesta : Pengertian dan Contohnya Lengkap

injektif

Fungsi Bijektif

Bila fungsi f:A \rightarrow B  merupakan fungsi surjektif sekaligus juga fungsi injektif. Contohnya :

bijektif

Fungsi Komposisi

Adalah susunan dari beberapa fungsi yang terhubung, serta bekerja sama. Sebagai ilustrasinya bila fungsi F dan G adalah mesin yang bekerja dengan cara beriringan. Fungsi F akan menerima input yang berupa (X), yang akan diolah pada mesin F dan kemudian menghasilkan output yang berupa f(x)  . Lalu  f(x)  dijadikan input untuk diproses pada mesin G sehingga menghasilkan output yang berupa g(f(x)).

Ilustrasi itu bila dibuat dalam fungsi merupakan sebuah komposisi G dan F, yang dinyatakan dengan  g o f  sehingga :

(g o f)(x) = g(f(x))

Dengan syarat R_f \cap D_g \not= {\O}

fungsi komposisi

Komposisi bisa menjadi lebih dari dua fungsi jika f:A \rightarrow Bg:B \rightarrow C dan h:C \rightarrow D maka h o g o f:A \rightarrow D dinyatakan dengan (h o g o f)(x) = h(g(f(x)))

Sifat Fungsi Komposisi

Operasi di dalam fungsi komposisi tidak akan bersifat komutatif (g o f)(x) \not= (f o g)(x)

Operasi akan bersifat asosiatif (h o g o f)(x) = (h o(g o f))(x) = ((h o g) o f)(x)

Contohnya :

Jika f(x) = 2x + 3 dan (f o g)(x) = 2x^2 + 6x - 7, maka g(x) adalah

(f)(g(x)) = 2x^2 + 6x - 7

2(g(x)) + 3 = 2x^2 + 6x - 7

g(x) = x^2 + 3x - 5

Fungsi Invers

Bila fungsi  f:A \rightarrow B  memiliki relasi dengan fungsi  g:B \rightarrow A   , maka fungsi G merupakan invers yang pasif dari F dan ditulis dengan f^{-1} atau  g = f^{-1}  . Bila dalam bentuk fungsi, maka  f^{-1}  disebut dengan fungsi invers.

fungsi invers

Menentukan Invers

Menentukan invers dari suatu fungsi y = f(x)   bisa didapatkan dengan cara sebagai berikut :

Ubah persamaan y = f(x) ke dalam bentuk x = f(y)

Gantikan x dengan f^{-1}(y) sehingga f(y) = f^{-1}(y)

Gantikan y dengan x sehingga diperoleh invers berupa f^{-1}

Contohnya :

Menentukan invers dari =x^2 - 2x + 4:

y = [x^2 - 2x + 4

y = (x - 1)^2 + 3

(x - 1)^2 = y - 3

x - 1 = \pm \sqrt{y - 3}

x = \pm \sqrt{y -3 + 3}

Sehingga inversnya adalah

f^{-1}(x) =\pm \sqrt{y - 3 + 1} dan bukan merupakan dua fungsi karena memiliki dua bentuk nilai.

Rumus Fungsi Invers

 

JENIS FUNGSI f(x) f^{-1}(x)
Fungsi linier f(x) = ax + b f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}
Fungsi pecahan linier f(x) =\frac{ax+b}{cx+d}  f^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a}
Fungsi Irrasional f(x) =\sqrt[n]{ax+b}  f^{-1}(x) = \frac{x^n-b }{a}
Fungsi eksponen f(x) = a^x f^{-1}(x) = ^a\log x
Fungsi logaritma f(x) = ^a\log x f^{-1}(x) = a^x

 Contohnya :

JENIS FUNGSI f(x) f^{-1}(x)
Fungsi linier f(x) = 2x+3 f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}
Fungsi pecahan linier f(x) = \frac{2x+3}{4x+5} f^{-1}(x) = \frac{-5x+3}{4x-2}
Fungsi Irrasional f(x) = \sqrt[4]{2x+3} f^{-1}(x) = \frac{x^4-3}{2}
Fungsi eksponen f(x) = 2^x f^{-1}(x) = ^2\log x
Fungsi logaritma f(x) = ^2\log x f^{-1} = 2^x
Baca Juga :   Rumus Luas Lingkaran : Luas, Keliling Dan Diagram Lingkaran Lengkap

Invers Dari Fungsi Komposisi

invers dari fungsi komposisi

Berdasar gambar, jika f, g, h adalah fungsi dengan contoh f(x) = 2x + 3g(x) = 3x - 5, dan  h(x) = x =1.

Jika f^{-1},g^{-1},h^{-1} adalah invers fungsinya yaitu f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}g^{-1}(x) = \frac{x+3}{3}, dan h^{-1}(x) = x - 1, maka dirumuskan beserta contohnya:

  • (g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x)

(g \circ f)^{-1}(x) =f^{-1}(g^{-1}(x))

(g \circ f)^{-1}(x) = \frac{(g^{-1}(x))-3}{2} = \frac{\frac{x+5}{3}-3}{2} = \frac{\frac{x-4}{3}}{2} = \frac{2x-8}{3}

  • (f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)

(f \circ g)^{-1}(x) = g^{-1}(f^{-1}(x))

(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{\frac{x-3}{2}+5}{3} = \frac{\frac{x+7}{2}}{3} = \frac{3x+21}{2}

  • (h \circ g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1})(x)

(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = f^{-1}(g^{-1}(h^{-1}(x)))

 (h \circ g \circ f)^{-1}(x) = f^{-1} (\frac{(x-1)+5}{3}) = f^{-1} (\frac{x+4}{3})

(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = \frac{(\frac{x+4}{3})-3}{2} = \frac{(\frac{x-5}{3})}{2} = \frac{2x-10}{3}

  • (f \circ g \circ h)^{-1}(x) = (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1})(x)

(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = h^{-1} (g^{-1}(f^{-1}(x)))

(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = h^{-1}(\frac{3x+21}{2})

(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = (\frac{3x+21}{2}) - 1 = \frac{3x+19}{2}

Berdasarkan rumusan tersebut, dapat diturunkan operasi komposisi fungsi sebagai berikut:

  • Jika diketahui g(x) dan (f \circ g)(x) atau (g \circ f)(x), maka (f \circ g \circ g^{-1})(x) = (g^{-1} \circ g \circ f)(x) = f(x)
  • Jika diketahui f(x) dan (f \circ g)(x) atau (g \circ f)(x), maka (f^{-1} \circ f \circ g)(x) = (g \circ f \circ f^{-1})(x) = g(x)
  • Jika diketahui f(x),g(x), dan (f \circ g \circ h)(x), maka (f \circ g)^{-1}((f \circ g \circ h)(x))
  • Jika diketahui f(x)h(x), dan (f \circ g \circ h)(x), maka  f^{-1}((f \circ g \circ h)(h^{-1}(x)))

Demikian pembahasan materi relasi dan fungsi yang lengkap. Semoga dapat dipahami dengan baik, serta memberi manfaat.

Baca Juga :