Program Linear : Pengertian, Model Matematika, Nilai Optimum, Dan Contoh Soalnya Lengkap

Posted on
5 (100%) 1 vote[s]

Pengertian Program Linear : Model Matematika, Nilai Optimum, Dan Contoh Soalnya Lengkap

Program Linear – Program linier adalah sebuah metode penentuan nilai yang optimum, dari sebuah persoalan linear. Nilai optimal baik maksimum maupun minimum didapatkan dari nilai di dalam suatu himpunan penyelesaian persoalan linier. Persyaratan, batasan, dan juga kendala dalam persoalan linier adalah sistem pertidaksamaan linier.

Model Matematika Program Linier

Persoalan di dalam program linier yang masih dinyatakan dalam kalimat pernyataan umum, lalu diubah ke dalam model matematika. Model matematika ini adalah pernyataan yang menggunakan peubah dan juga notasi dalam matematika.

Sebagai contoh ilustrasinya adalah ketika ada seorang produsen sepatu yang membuat dua model sepatu dengan menggunakan dua bahan yang berbeda. Komposisi model yang pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama, dan 150 gr bahan kedua. Untuk komposisi model yang kedua terdiri dari 180 gr bahan pertama, dan 170 gr bahan yang kedua. Persediaan yang ada di gudang pada bahan pertama adalah 76 Kg dan bahan yang kedua 64 Kg. harga pada model yang pertama yaitu Rp.500.000,- sedangkan model yang kedua harganya Rp.400.000,-.

Dengan peubah dari jumlah yang optimal model 1 adalah X dan model 2 adalah Y, sedangkan hasil dari penjualan optimal adalah F(X,Y) = 500.000+400.000y. dengan syarat :

  • Jumlah maksimal bahan 1 adalah 72.000 gr, maka 200x + 150y ≤ 72.000.
  • Jumlah maksimal bahan 2 adalah 64.000 gr, maka 180x + 170y ≤ 64.000
  • Masing-masing model harus terbuat.
Baca Juga :   Himpunan : Pengertian, Macam-Macam dan Contohnya Lengkap

Model matematika untuk mendapatkan jumlah penjualan yang maksimum yaitu :

pemodelan maksimum

Nilai Optimum Fungsi Objektif

Fungsi yang objektif adalah fungsi linear dan batasan pertidaksamaan linear yang mempunyai himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian yang ada itu adalah titik-titik di dalam diagram cartisius, yang bila koordinatnya disubsistusikan ke dalam fungsi linear bisa memenuhi persyaratan yang sudah ditentukan.

Nilai optimum fungsi objektif dari sebuah persoalan linear bisa ditentukan dengan menggunakan metode grafik. Dengan melihat grafik dari fungsi objektif dan batasannya bisa ditentukan letak titik yang menjadi nilai optimumnya. Berikut langkah-langkahnya :

  1. Menggambar himpunan penyelesaian dari seluruh batasan syarat yang ada pada cartesius.
  2. Menentukan titik ekstrim yang menjadi perpotongan garis batasan, dengan garis batasan yang lainnya. Titik ekstrim ini adalah himpunan penyelesaian dari batasannya, yang mempunyai kemungkinan besar dalam membuat fungsi menjadi optimum.
  3. Menyelidiki nilai optimum fungsi objektif dilakukan dengan dua cara yaitu :
  • Dengan menggunakan garis selidik
  • Membandingkan nilai fungsi objektif di setiap titik ekstrim

Menggunakan Garis Selidik

Garis selidik didapatkan dari fungsi objektif F(X,Y) = AX + BY yang dimana garis selidiknya adalah ax + by = Z.

Nilai Z akan diberikan pada sembarang nilai. Garis ini dibuat sesudah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan dibuat. Garis selidik awal dibuat di area perhimpunan penyelesaian awal. Lalu dibuat garis yang sejajar dengan garis selidik awal. Berikut ini beberapa pedoman dalam untuk memudahkan penyelidikan nilai fungsi optimum :

Cara 1 (syarat a > 0)

  • Jika maksimum maka dibuatlah garis yang sejajar dengan garis selidik awal, sehingga membuat himpunan penyelesaian ada di kiri garis. Titik yang dilalui garis itu adalah titik yang maksimum.
  • Jika minimum maka dibuatlah garis yang sejajar dengan garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian ada di kanan garis. Titik yang dilalui oleh garis itu adalah titik minimum.
Baca Juga :   Cara Mengerjakan Rumus Limit Tak Hingga Lengkap

Cara 2 (syarat b > 0)

  • Jika maksimum maka dibuatlah garis yang sejajar dengan garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaiannya berada di bawah garis. Titik yang dilalui oleh garis itu adalah titik maksimum.
  • Jika minimum maka dibuatlah garis yang sejajar dengan garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian ada di atas garis. Titik yang dilalui oleh garis itu adalah titik minimum.

Untuk nilai a < 0 dan b < 0 berlaku kebalikan dari kedua cara yang dijelaskan di atas.

Membandingkan Nilai Fungsi Di Setiap Titik Ekstrim

Menyelidiki nilai optimum dari suatu fungsi objektif juga bisa dilakukan dengan lebih dahulu, dalam menentukan titik potong tersebut menjadi nilai ekstrim yang memiliki potensi nilai maksimum pada salah satu titiknya.

Berdasarkan titik-titik itu ditentukan dengan nilai-nilai dari masing-masing fungsinya, lalu dibandingkan. Nilai yang paling besar adalah nilai maksimum dan nilai yang paling kecil adalah nilai minimum.

Contoh Soal

Tentukan nilai minimum f(x, y) = 9x + y pada daerah yang dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7.

Pembahasan 1:

  • Langkah 1 menggambar grafiknya

contoh soal program linear

  • Langkah 2 menentukan titik ekstrim

Dari gambar, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang diarsir.

  • Lankah 3 menyelidiki nilai optimum

Dari grafik diketahui titik A dan B memiliki y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum. Kedua titik disubstitusikan kedalam f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan.

menyelidiki nilai optimum

Dengan membandingkan, disimpulkan titik A memiliki nilai minimum 18.

Demikian pembahasan mengenai program linear yang lengkap dengan contoh soalnya. Semoga dapat membantu.

Baca Juga :